肉肉喵的下周三星期幾?

快起床~第二篇要來惹!!! 圖/yeowatzup @ Wikimedia Commons 前情提要 <我有你沒有，你有我沒有，之到底誰有誰沒有?來不及打完的(一)> 在開始之前... 來談談乘法公式 還記得國小的 分配律 嗎? ( a + b )  ×  c = ( a  ×  c ) + ( b  ×  c ) = ac + bc 上了國中後，分配律一轉眼就成了 乘法公式 ， ( a + b )  ×  ( c + d ) = ( a  ×  ( c + d ) ) + ( b  ×  ( c + d ) ) = ( a  ×  c ) + ( a  ×  d ) + ( b  ×  c ) + ( b  ×  d ) = ac + ad + bc + bd 接著，換 和的平方 的公式登場， 然後，自己動手試試看 和的立方 呢? 補充: 展開的過程中，可以發現， 如果任意的乘開，很可能在過程中漏乘了幾項 ，然而，如果我們能以一個有系統的方式乘開，也就是找到一個乘開的方法(順序)，便可以確保展開的過程中沒有遺漏的項目!這兒的方法是 由左至右，由a至b 。所以括號由左至右都先挑a出來乘，乘出aaa。接著，再一次地由左至右都挑a，當挑到第三個括號時，如果一樣挑a，那麼便與前一個相乘方法相同，故這一次挑b，乘出aab，以此類推。 啊，岔題遠了。 來幾個特別的案件吧! 讓我們將 和的立方 中的 a 換成 1 而 b 換成 x 會變成什麼呢。 每個括號內都挑一個出來乘，不是1就是x ，可以看到最後展開的結果，有挑出3個x的(x^3，也就是x的三次方)，有挑出2個x的(x^2，也就是x的平方)，和挑出1個x的，以及都不挑x的(常數項)。 再看一個案件... (1+a)(1+b)(1+c) 將 和的立方 中的x換成a、b、c ，再根據 和的立方 的乘開方式，可以預料到， 展開後的結果會有a、b、c中只挑1個的，有a、b、c中挑2個的，以及a、...

圖/ Zift @ Flickr 2016年，漫威影業推出電影奇異博士，片中的魔法特效吸引不少人的目光，尤其當古一大師向奇異博士展示鏡次元(Mirror Dimension)時，空間又是扭曲，又是翻轉，整座城市在古一大師的意念下任意變換、轉動，簡直 炫! 到! 爆! 而醬鏡次元的概念不只酷炫，實用度更是高到破表RRR! 想當魔法師卻不會魔法嗎? 沒關係，數學上早有能滿足您想像需求的工具，那就是...矩陣!(哎哎看官們別走啊...肉肉喵都拖到第二段才提了༼☯﹏☯༽) 繼續看下去之前，我已經知道: ロ 向量的內積與正射影(見高中數學第三冊) ロ 矩陣的定義與基本運算(見高中數學第四冊) ロ  旋轉矩陣與鏡射矩陣的推導 ロ 都check了嗎? 那我們開始囉! 圖/Francesca Cesa Bianchi , Milano @ Wikimedia Commons 高中時，我們以解線性方程組為由，引入了 矩陣 一工具，而後介紹到了矩陣的乘法，以及藉由反方陣來解聯立方程式。今天，我們將以 向量的角度 再一次地瞧瞧矩陣這一 噁心的 乘法運算的魅力。準備好你的矩陣，咱們要上場囉! 向量內積 定義 *有向長度 Directed Distance 此處我們引入一個新的長度觀念，也就是 有方向的長度 ，和向量的方向不同，這兒我們所指的方向只有正與負，分別代表同方向與反方向。 正射影 *分量 本篇所提及的分量皆為有向長度，而非向量。 例如: 1.當a向量與b向量夾角介於-90°~90°時，則 a向量 在 b向量 上的分量為，+( a向量 在 b向量 上的正射影長度) 2.當a向量與b向量夾角介於90°~270°時，則 a向量 在 b向量 上的分量為，-( a向量 在 b向量 上的正射影長度) 註1: -90° = 270° 註2: 夾角為 90° 與 270°時，兩向量垂直，分量為0，故正負不影響。 內積與正射影 重新檢視向量內積的定義，便可將其理解為，( a向量 在 b向量 上的分量)乘上( b向量 的長度)。 註1:兩向量內積後為純量，然而，正射影為向量，仍包含方向，故相較於長度，正射影的結果需乘上( b向量 )的單位向...