<如果奇異博士在鏡次元算矩陣之旋轉與鏡射在幹嘛(一)>旋轉好累篇
 |
| 圖/ Zift @Flickr |
想當魔法師卻不會魔法嗎? 沒關係，數學上早有能滿足您想像需求的工具，那就是...矩陣!(哎哎看官們別走啊...肉肉喵都拖到第二段才提了༼☯﹏☯༽)
繼續看下去之前，我已經知道:
ロ 向量的內積與正射影(見高中數學第三冊)
ロ 矩陣的定義與基本運算(見高中數學第四冊)
ロ
_Black_Cat_in_Bed_(_Milan_).jpg) |
| 都check了嗎? 那我們開始囉! 圖/Francesca Cesa Bianchi, Milano @Wikimedia Commons |
高中時，我們以解線性方程組為由，引入了矩陣一工具，而後介紹到了矩陣的乘法，以及藉由反方陣來解聯立方程式。今天，我們將以向量的角度再一次地瞧瞧矩陣這一
向量內積
定義
*有向長度 Directed Distance
此處我們引入一個新的長度觀念，也就是有方向的長度，和向量的方向不同，這兒我們所指的方向只有正與負，分別代表同方向與反方向。
正射影
*分量
本篇所提及的分量皆為有向長度，而非向量。
例如:
1.當a向量與b向量夾角介於-90°~90°時，則a向量在b向量上的分量為，+(a向量在b向量上的正射影長度)
2.當a向量與b向量夾角介於90°~270°時，則a向量在b向量上的分量為，-(a向量在b向量上的正射影長度)
註1: -90° = 270°
註2: 夾角為 90° 與 270°時，兩向量垂直，分量為0，故正負不影響。
內積與正射影
重新檢視向量內積的定義，便可將其理解為，(a向量在b向量上的分量)乘上(b向量的長度)。
註1:兩向量內積後為純量，然而，正射影為向量，仍包含方向，故相較於長度，正射影的結果需乘上(b向量)的單位向量，也就是註明該向量的指向。
special case
可以觀察到，在正射影的圖中，若b向量的長度為1，則(a向量內積b向量)即為(a向量在b向量上的分量)。
註1:內積後的純量與分量的正負值相同，故僅需考慮長度是否一樣，也就是...
AB相乘
先來看看A,B兩個矩陣相乘的樣子。
再來看看幾個向量。
接著不管你有沒有發現，你知道我都會告訴你我們發現惹，其實矩陣的乘法裏頭藏了幾個向量的內積。分別是矩陣A的第1列與矩陣B的第1行、矩陣A的第1列與矩陣B的第2行、矩陣A的第2列與矩陣B的第1行、矩陣A的第2列與矩陣B的第1行，也就是...
座標
拜笛卡兒所賜，後來的我們已習慣於在平面上畫一條水平線與一條鉛直線相交，並分別稱為x軸與y軸，而給出x與y的值，便能決定平面上的一個點(x,y)。
休息一下~研究顯示看貓貓很舒壓~
能看到這裡表示你真的很厲害，給自己鼓鼓掌((掌聲
回到奇異博士的鏡次元，讓我們歡迎奇異喵喵!!!
俗話說，科技始終來自於人性，而人性始原於惰性。所以，如果今天肉肉喵練功有成，晉升為奇異喵喵，擁有可以操縱空間的法術，那本肉肉本喵喵絕對不會從舒適的床墊上爬起來走向碗盆，而是讓滿滿的罐罐飛向本喵喵RRR!!!
下次，你可以考試的時候試試看~Ψ(￣∀￣)Ψ
回到旋轉矩陣
已經看過了旋轉矩陣的推導，會知道我們以合角公式的展開並整理，最後得到一個用來表示旋轉這一動作的矩陣-旋轉矩陣。也就是，當我們想要將一個點p(r,α)逆時針旋轉θ時，會變成p'(r,α+θ)。(極座標表示)
不過，怠惰的奇異喵喵可沒這麼勤奮，為了不用親自旋轉p點，他決定用法術操縱空間，讓坐標軸反方向旋轉。例如 A遠離B，亦相當於B遠離A。所以不是你們排擠我，是我排擠大家哦((誤(ToT)
座標
拜笛卡兒所賜，後來的我們已習慣於在平面上畫一條水平線與一條鉛直線相交，並分別稱為x軸與y軸，而給出x與y的值，便能決定平面上的一個點(x,y)。
休息一下~研究顯示看貓貓很舒壓~
 |
| 打個哈欠，我們繼續~ 圖/Gazio @Wikimedia Commons |
回到奇異博士的鏡次元，讓我們歡迎奇異喵喵!!!
俗話說，科技始終來自於人性，而人性始原於惰性。所以，如果今天肉肉喵練功有成，晉升為奇異喵喵，擁有可以操縱空間的法術，那
回到旋轉矩陣
已經看過了旋轉矩陣的推導，會知道我們以合角公式的展開並整理，最後得到一個用來表示旋轉這一動作的矩陣-旋轉矩陣。也就是，當我們想要將一個點p(r,α)逆時針旋轉θ時，會變成p'(r,α+θ)。(極座標表示)
不過，怠惰的奇異喵喵可沒這麼勤奮，為了不用親自旋轉p點，他決定用法術操縱空間，讓坐標軸反方向旋轉。例如 A遠離B，亦相當於B遠離A。
標準的座標軸表示
在向量的線性組合單元中，兩個不平行的向量做線性組合可以展開整個平面，換句話說，兩個不平行向量的線性組合範圍是整個平面。所以一般我們以(1,0)、(0,1)兩個向量分別代表x軸與y軸的方向，這樣便能以兩個簡單的向量的線性組合去描述平面上的任一向量或是點了!如:平面上的向量(3,5)便是3*(1,0)+5*(0,1)。
一個向量v=(x,y)，以矩陣來說便是，向量v在x軸上的分量為x，向量v在y軸上的分量為y，換句話說，向量v在向量(1,0)上的分量為x，在向量(0,1)上的分量為y，再一次地換句話說，向量v與向量(1,0)內積為x，與(0,1)內積為y。
註:此處可直接替換為內積乃因向量(1,0)與(0,1)長度皆為1。(見內積與正射影的說明)
所以哩
說到底，究竟該如何互相排擠如何表示旋轉呢?
1. 旋轉座標軸
當我們希望將點p逆時針旋轉θ，相對來說，便是將座標軸順時針旋轉θ。
2.取出新座標的方向
取出旋轉過後的座標方向，也就是取出他的向量，並且維持長度為1。
根據圖示可以知道，新座標的方向向量為(cosθ,-sinθ)與(sinθ,cosθ)，分別代表新x軸與新y軸。在第一組向量找出來後，第二組向量可以使用垂直兩向量內積為0的性質，也就是前後顛倒，其中一個加負號的方式來找出，至於是前面加負號還是後面加負號，可以觀察與原本軸的夾角。如已找出(cosθ,-sinθ)則另一軸之向量為(sinθ,cosθ)或(-sinθ,-cosθ)，此處很明顯為前者。
註:長度為1，配合內積與正射影之說明。
再次回到旋轉矩陣
於是，再次地回到旋轉矩陣便可看出其奧義，將一向量v分別與旋轉後的新x軸(cosθ,-sinθ)與新y軸(sinθ,cosθ)內積，找出向量v在順時針旋轉後的新x軸與新y軸上的分量，便是向量v在原x軸與原y軸上逆時針旋轉的值。(見1.旋轉座標軸之說明)
小結
看到這兒真是辛苦了!
由於肉肉喵的記憶力實在不是太好，過去總是記不起一些特定功能的矩陣長相，非常懊惱。在一次機緣下讀到 Euclidean Transformation 與 Affine Transformation 時，終於想通，希望這個想法的分享能讓大家看到旋轉矩陣的不同面。
敬請期待
<如果奇異博士在鏡次元算矩陣之旋轉與鏡射在幹嘛>映射篇
在向量的線性組合單元中，兩個不平行的向量做線性組合可以展開整個平面，換句話說，兩個不平行向量的線性組合範圍是整個平面。所以一般我們以(1,0)、(0,1)兩個向量分別代表x軸與y軸的方向，這樣便能以兩個簡單的向量的線性組合去描述平面上的任一向量或是點了!如:平面上的向量(3,5)便是3*(1,0)+5*(0,1)。
註:此處可直接替換為內積乃因向量(1,0)與(0,1)長度皆為1。(見內積與正射影的說明)
所以哩
說到底，究竟該
1. 旋轉座標軸
當我們希望將點p逆時針旋轉θ，相對來說，便是將座標軸順時針旋轉θ。
2.取出新座標的方向
取出旋轉過後的座標方向，也就是取出他的向量，並且維持長度為1。
根據圖示可以知道，新座標的方向向量為(cosθ,-sinθ)與(sinθ,cosθ)，分別代表新x軸與新y軸。在第一組向量找出來後，第二組向量可以使用垂直兩向量內積為0的性質，也就是前後顛倒，其中一個加負號的方式來找出，至於是前面加負號還是後面加負號，可以觀察與原本軸的夾角。如已找出(cosθ,-sinθ)則另一軸之向量為(sinθ,cosθ)或(-sinθ,-cosθ)，此處很明顯為前者。
註:長度為1，配合內積與正射影之說明。
再次回到旋轉矩陣
於是，再次地回到旋轉矩陣便可看出其奧義，將一向量v分別與旋轉後的新x軸(cosθ,-sinθ)與新y軸(sinθ,cosθ)內積，找出向量v在順時針旋轉後的新x軸與新y軸上的分量，便是向量v在原x軸與原y軸上逆時針旋轉的值。(見1.旋轉座標軸之說明)
 |
| Meow~ 旋轉好累，來睏~ 圖/ Abdavis329 @Wikimedia Commons |
小結
看到這兒真是辛苦了!
由於肉肉喵的記憶力實在不是太好，過去總是記不起一些特定功能的矩陣長相，非常懊惱。在一次機緣下讀到 Euclidean Transformation 與 Affine Transformation 時，終於想通，希望這個想法的分享能讓大家看到旋轉矩陣的不同面。
敬請期待
<如果奇異博士在鏡次元算矩陣之旋轉與鏡射在幹嘛>映射篇
留言
張貼留言