<我有你沒有，你有我沒有，之到底誰有誰沒有?接著討論的(二)>
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| 快起床~第二篇要來惹!!! 圖/yeowatzup @Wikimedia Commons |
前情提要
在開始之前...
來談談乘法公式
還記得國小的分配律嗎?
( a + b ) × c = ( a × c ) + ( b × c ) = ac + bc
上了國中後，分配律一轉眼就成了乘法公式，
( a + b ) × ( c + d )
= ( a × ( c + d ) ) + ( b × ( c + d ) )
= ( a × c ) + ( a × d ) + ( b × c ) + ( b × d )
= ac + ad + bc + bd
接著，換 和的平方 的公式登場，
然後，自己動手試試看 和的立方 呢?
補充:
展開的過程中，可以發現，如果任意的乘開，很可能在過程中漏乘了幾項，然而，如果我們能以一個有系統的方式乘開，也就是找到一個乘開的方法(順序)，便可以確保展開的過程中沒有遺漏的項目!這兒的方法是由左至右，由a至b。所以括號由左至右都先挑a出來乘，乘出aaa。接著，再一次地由左至右都挑a，當挑到第三個括號時，如果一樣挑a，那麼便與前一個相乘方法相同，故這一次挑b，乘出aab，以此類推。
啊，岔題遠了。
來幾個特別的案件吧!
讓我們將 和的立方 中的 a 換成 1 而 b 換成 x 會變成什麼呢。
每個括號內都挑一個出來乘，不是1就是x，可以看到最後展開的結果，有挑出3個x的(x^3，也就是x的三次方)，有挑出2個x的(x^2，也就是x的平方)，和挑出1個x的，以及都不挑x的(常數項)。
再看一個案件...
(1+a)(1+b)(1+c)
將 和的立方 中的x換成a、b、c ，再根據 和的立方 的乘開方式，可以預料到，展開後的結果會有a、b、c中只挑1個的，有a、b、c中挑2個的，以及a、b、c中挑3個的。
換句話說，a、b、c中如果只挑1個，比如說我們挑a，那麼在(1+a)之外的另外兩個括號中挑的就是1，如此一來便可以乘出a。以此類推，a、b、c中挑2個呢，比如我們挑a、b，那麼在(1+a)與(1+b)之外的括號挑的就是1，如此可以乘出ab。
如果不只是 (1+a)(1+b)(1+c)
a、b、c、d如果有4個呢?
抑或是5個的a、b、c、d、e呢?
推廣
多功能的東西總是比較吸引人，方便不外乎是原因之一，數學上亦如此，我們希望能將一個公式所能適用的範圍最大化，也就是說，如果一個公式能表達的東西越多，通常那會是個較好的公式!
想到什麼了嗎!?
沒錯，就是為什麼今天的貓貓特別少?
可以預料的是將上式展開後會得到a1、a2、...、an 中任取0個(也就是常數項1)、任取1個(a1、a2、...、an )、任取2個(a1a2、a1a3、a1a4、...、a2a3、a2a4、... )、...、任取n個(也就是a1a2...an)。讀者可取一個較小的n乘開試試。
思考
如果括號內的加號(+)改為減號(-)的話...
終於要開始囉
在第一篇<我有你沒有，你有我沒有，之到底誰有誰沒有?來不及打完的(一)>中，以國小題目尋找互質的數的個數開始，我們試圖以有系統的方式去計算這些互質的數的個數，從一個個檢查，到改進檢查的方法，甚或是反向思考的刪去法。而現在，我們將把方法推廣至適用於任意的正整數!
第一篇中，以30為例做質因數分解，並以因數2、3、5分別去尋找「不會」互質的數，並將他們的個數加起來，期間我們扣掉重複計算的以及加回在扣掉重複計算時多扣掉的。
正整數n
給一個任意正整數n，都可以將n做質因數分解，得到
其中，P1、P2、...、Pk為質數，而r1、r2、...、rk 屬於正整數，分別代表質數P1、P2、...、Pk的次數。
回顧第一篇當中30的例子，以分別除2、除3、除5來找「不會」互質的數，也就是2的倍數、3的倍數、5的倍數，接著分別除上兩兩相乘，也就是除6、除10、除15，來扣掉重複計算的倍數...。
例如:
2的倍數:2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30，共計15個。
3的倍數:3、 6、9、 12、15、 18、21、 24、27、 30，共計10個。
5的倍數:5、 10、 15、 20、25、 30，共計6個。
可以發現6、12、18、24、30，也就是6的倍數(5個)，在計算2的倍數與3的倍數個數時，被重複計算了，因此需要將其扣掉。(底線數字)
以及，10、20、30，也就是10的倍數(3個)，在計算2的倍數與5的倍數個數時，被重複計算了，需要將其扣掉。(橘底數字)
而，15、30，也就是15的倍數(2個)，則是在計算3的倍數與5的倍數個數時，被重複計算了。(加粗數字)
最後，30，也就是30的倍數，會在扣除重複計算的個數時被多扣一次，所以我們將其加回來。(加大數字)
是故，「不會」與30互質的個數為 15 + 10 + 6 - 5 - 3 - 2 + 1 = 22，
於是，(30以內)與30互質的個數為 30 - 22 = 8 個。
若將計算過程稍加整理，便得到...
這感覺是否似曾相似呢?
= 30(1-a)(1-b)(1-c)
其中，a、b、c分別為質因數2、3、5的倒數。
回到正整數n
因此，(小於n)與n互質的正整數個數為...
而她的另個名字叫做，尤拉函數。
來談談乘法公式
還記得國小的分配律嗎?
( a + b ) × c = ( a × c ) + ( b × c ) = ac + bc
上了國中後，分配律一轉眼就成了乘法公式，
( a + b ) × ( c + d )
= ( a × ( c + d ) ) + ( b × ( c + d ) )
= ( a × c ) + ( a × d ) + ( b × c ) + ( b × d )
= ac + ad + bc + bd
接著，換 和的平方 的公式登場，
然後，自己動手試試看 和的立方 呢?
補充:
展開的過程中，可以發現，如果任意的乘開，很可能在過程中漏乘了幾項，然而，如果我們能以一個有系統的方式乘開，也就是找到一個乘開的方法(順序)，便可以確保展開的過程中沒有遺漏的項目!這兒的方法是由左至右，由a至b。所以括號由左至右都先挑a出來乘，乘出aaa。接著，再一次地由左至右都挑a，當挑到第三個括號時，如果一樣挑a，那麼便與前一個相乘方法相同，故這一次挑b，乘出aab，以此類推。
來幾個特別的案件吧!
讓我們將 和的立方 中的 a 換成 1 而 b 換成 x 會變成什麼呢。
每個括號內都挑一個出來乘，不是1就是x，可以看到最後展開的結果，有挑出3個x的(x^3，也就是x的三次方)，有挑出2個x的(x^2，也就是x的平方)，和挑出1個x的，以及都不挑x的(常數項)。
再看一個案件...
(1+a)(1+b)(1+c)
將 和的立方 中的x換成a、b、c ，再根據 和的立方 的乘開方式，可以預料到，展開後的結果會有a、b、c中只挑1個的，有a、b、c中挑2個的，以及a、b、c中挑3個的。
換句話說，a、b、c中如果只挑1個，比如說我們挑a，那麼在(1+a)之外的另外兩個括號中挑的就是1，如此一來便可以乘出a。以此類推，a、b、c中挑2個呢，比如我們挑a、b，那麼在(1+a)與(1+b)之外的括號挑的就是1，如此可以乘出ab。
如果不只是 (1+a)(1+b)(1+c)
a、b、c、d如果有4個呢?
抑或是5個的a、b、c、d、e呢?
推廣
多功能的東西總是比較吸引人，方便不外乎是原因之一，數學上亦如此，我們希望能將一個公式所能適用的範圍最大化，也就是說，如果一個公式能表達的東西越多，通常那會是個較好的公式!
想到什麼了嗎!?
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| 蛤?有人找我嗎?? 圖/Marlies Kloet @Wikimedia Commons |
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| 誰叫你了，奏凱!! 圖/Mauro @Flickr |
可以預料的是將上式展開後會得到a1、a2、...、an 中任取0個(也就是常數項1)、任取1個(a1、a2、...、an )、任取2個(a1a2、a1a3、a1a4、...、a2a3、a2a4、... )、...、任取n個(也就是a1a2...an)。讀者可取一個較小的n乘開試試。
思考
如果括號內的加號(+)改為減號(-)的話...
在第一篇<我有你沒有，你有我沒有，之到底誰有誰沒有?來不及打完的(一)>中，以國小題目尋找互質的數的個數開始，我們試圖以有系統的方式去計算這些互質的數的個數，從一個個檢查，到改進檢查的方法，甚或是反向思考的刪去法。而現在，我們將把方法推廣至適用於任意的正整數!
第一篇中，以30為例做質因數分解，並以因數2、3、5分別去尋找「不會」互質的數，並將他們的個數加起來，期間我們扣掉重複計算的以及加回在扣掉重複計算時多扣掉的。
正整數n
給一個任意正整數n，都可以將n做質因數分解，得到
其中，P1、P2、...、Pk為質數，而r1、r2、...、rk 屬於正整數，分別代表質數P1、P2、...、Pk的次數。
回顧第一篇當中30的例子，以分別除2、除3、除5來找「不會」互質的數，也就是2的倍數、3的倍數、5的倍數，接著分別除上兩兩相乘，也就是除6、除10、除15，來扣掉重複計算的倍數...。
例如:
2的倍數:2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30，共計15個。
3的倍數:3、 6、9、 12、15、 18、21、 24、27、 30，共計10個。
5的倍數:5、 10、 15、 20、25、 30，共計6個。
可以發現6、12、18、24、30，也就是6的倍數(5個)，在計算2的倍數與3的倍數個數時，被重複計算了，因此需要將其扣掉。(底線數字)
以及，10、20、30，也就是10的倍數(3個)，在計算2的倍數與5的倍數個數時，被重複計算了，需要將其扣掉。(橘底數字)
而，15、30，也就是15的倍數(2個)，則是在計算3的倍數與5的倍數個數時，被重複計算了。(加粗數字)
最後，30，也就是30的倍數，會在扣除重複計算的個數時被多扣一次，所以我們將其加回來。(加大數字)
是故，「不會」與30互質的個數為 15 + 10 + 6 - 5 - 3 - 2 + 1 = 22，
於是，(30以內)與30互質的個數為 30 - 22 = 8 個。
若將計算過程稍加整理，便得到...
這感覺是否似曾相似呢?
= 30(1-a)(1-b)(1-c)
其中，a、b、c分別為質因數2、3、5的倒數。
回到正整數n
因此，(小於n)與n互質的正整數個數為...
而她的另個名字叫做，尤拉函數。
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