肉肉喵的下周三星期幾?

快起床~第二篇要來惹!!! 圖/yeowatzup @ Wikimedia Commons 前情提要 <我有你沒有，你有我沒有，之到底誰有誰沒有?來不及打完的(一)> 在開始之前... 來談談乘法公式 還記得國小的 分配律 嗎? ( a + b )  ×  c = ( a  ×  c ) + ( b  ×  c ) = ac + bc 上了國中後，分配律一轉眼就成了 乘法公式 ， ( a + b )  ×  ( c + d ) = ( a  ×  ( c + d ) ) + ( b  ×  ( c + d ) ) = ( a  ×  c ) + ( a  ×  d ) + ( b  ×  c ) + ( b  ×  d ) = ac + ad + bc + bd 接著，換 和的平方 的公式登場， 然後，自己動手試試看 和的立方 呢? 補充: 展開的過程中，可以發現， 如果任意的乘開，很可能在過程中漏乘了幾項 ，然而，如果我們能以一個有系統的方式乘開，也就是找到一個乘開的方法(順序)，便可以確保展開的過程中沒有遺漏的項目!這兒的方法是 由左至右，由a至b 。所以括號由左至右都先挑a出來乘，乘出aaa。接著，再一次地由左至右都挑a，當挑到第三個括號時，如果一樣挑a，那麼便與前一個相乘方法相同，故這一次挑b，乘出aab，以此類推。 啊，岔題遠了。 來幾個特別的案件吧! 讓我們將 和的立方 中的 a 換成 1 而 b 換成 x 會變成什麼呢。 每個括號內都挑一個出來乘，不是1就是x ，可以看到最後展開的結果，有挑出3個x的(x^3，也就是x的三次方)，有挑出2個x的(x^2，也就是x的平方)，和挑出1個x的，以及都不挑x的(常數項)。 再看一個案件... (1+a)(1+b)(1+c) 將 和的立方 中的x換成a、b、c ，再根據 和的立方 的乘開方式，可以預料到， 展開後的結果會有a、b、c中只挑1個的，有a、b、c中挑2個的，以及a、...

腦袋嗎? 圖/Mgmoscatello @ Wikimedia Commons 腦袋嗎? 互質 啦! 什麼是互質? 如果兩個正整數(這兒僅簡單討論正整數)的最大公因數是1，則這兩個數互質。也就是兩個數沒有(除了1以外的)共同的因數，換句話說，正整數A的因數不會出現在B裏頭，反之亦然。 從小到大一定有寫過一種題目，通常長這樣，請問在...之內與...互質的數有幾個? 確切來說，舉個例子，請問在25內與30互質有幾個? 於是乎開始列出1到25，然後一個一個檢查，反正也才25個嘛~ 1跟30，2跟30，3跟30，4跟30，5跟30，6跟30，7跟30， 哦哦 ，8跟30，blablabla... 在後來我們發展出新的檢索方式來加速檢查的速度， 質因數分解 。 這個我會讓我來~ 圖/ Ron Armstrong @ Wikimedia Commons 透過短除法，可以得到30的質因數分解如下: 然後回到1至25，便可以馬上 剔除不與30互質的數字 ，也就是2的倍數、3的倍數以及5的倍數。因為，當該數字為2的倍數時，該數字與30便至少有2為他們的公因數。3的倍數與5的倍數，同理。 再進階些，可以使用 排容原理 : 我們讓圖中A、B、C區塊分別代表25裏頭2的倍數、3的倍數以及5的倍數，是故，A與B的交集(紅色與藍色的重疊區塊)即是那些同時為2的倍數也是3的倍數的那些數字，比如說6、12、18、24，可以發現，也就是6的倍數。 所以，計算25以內與30互質的個數，除了一個個檢查互質以外，也可以透過反面的想法，剔除所有不互質的數，剩下的便是與30互質的數了! 從上圖可以發現，整個不互質的數的區塊為(A區塊+B區塊+C區塊)再扣除重疊的(A與B區塊)、(A與C區塊)以及(B與C區塊)最後再加回(A與B與C區塊)，也就是... |A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C| 實際上操作看看: |A|=25以內2的倍數個數=(25 ÷2)取整數=12 |B|=25以內3的倍數個數=(25 ÷3)取整數=8 |C|=25以內5的倍數個數=(25 ÷5)取整數=5 |A∩B| =25以內6的倍數個數=(25 ÷6)取整數=4 |A∩C| =25...

圖/ Zift @ Flickr 2016年，漫威影業推出電影奇異博士，片中的魔法特效吸引不少人的目光，尤其當古一大師向奇異博士展示鏡次元(Mirror Dimension)時，空間又是扭曲，又是翻轉，整座城市在古一大師的意念下任意變換、轉動，簡直 炫! 到! 爆! 而醬鏡次元的概念不只酷炫，實用度更是高到破表RRR! 想當魔法師卻不會魔法嗎? 沒關係，數學上早有能滿足您想像需求的工具，那就是...矩陣!(哎哎看官們別走啊...肉肉喵都拖到第二段才提了༼☯﹏☯༽) 繼續看下去之前，我已經知道: ロ 向量的內積與正射影(見高中數學第三冊) ロ 矩陣的定義與基本運算(見高中數學第四冊) ロ  旋轉矩陣與鏡射矩陣的推導 ロ 都check了嗎? 那我們開始囉! 圖/Francesca Cesa Bianchi , Milano @ Wikimedia Commons 高中時，我們以解線性方程組為由，引入了 矩陣 一工具，而後介紹到了矩陣的乘法，以及藉由反方陣來解聯立方程式。今天，我們將以 向量的角度 再一次地瞧瞧矩陣這一 噁心的 乘法運算的魅力。準備好你的矩陣，咱們要上場囉! 向量內積 定義 *有向長度 Directed Distance 此處我們引入一個新的長度觀念，也就是 有方向的長度 ，和向量的方向不同，這兒我們所指的方向只有正與負，分別代表同方向與反方向。 正射影 *分量 本篇所提及的分量皆為有向長度，而非向量。 例如: 1.當a向量與b向量夾角介於-90°~90°時，則 a向量 在 b向量 上的分量為，+( a向量 在 b向量 上的正射影長度) 2.當a向量與b向量夾角介於90°~270°時，則 a向量 在 b向量 上的分量為，-( a向量 在 b向量 上的正射影長度) 註1: -90° = 270° 註2: 夾角為 90° 與 270°時，兩向量垂直，分量為0，故正負不影響。 內積與正射影 重新檢視向量內積的定義，便可將其理解為，( a向量 在 b向量 上的分量)乘上( b向量 的長度)。 註1:兩向量內積後為純量，然而，正射影為向量，仍包含方向，故相較於長度，正射影的結果需乘上( b向量 )的單位向...

蛤 還來啊? 圖/Horsch, Willy @Wikimedia Commons   編按:在本主題的第一篇 <封印吧，以神的名義! 創造多芒星封印術(一)> 中，以封印術式不可或缺之五芒星切入多芒星的繪製，從「觀察」乃至建構一套「方法」。接著第二篇將解析過程中所使用的策略，並為其提供理論基礎。 在第一篇 <封印吧，以神的名義! 創造多芒星封印術(一)> 文末，我們試圖以規律的方式去繪出 所有任意 的芒星，然後肉肉喵告訴你其實一切只是你的業障重，一廂情願的想法((挨打。若接著畫八芒星，會發現，在公差為2時，圓上的連線會如鬼打牆般地在同樣的點 不斷循環 出不來。 公差為2時 肉肉喵:乖~快出來~  喵:不要。 圖/Mark @Wikimedia Commons 小問題時間 肉肉喵在學校一全長50公尺的圓形操場由起點慢跑，恰逢零食廠商舉辦行銷活動，廠商從起點開始沿著跑道每公尺皆擺設一零食區，且每區的零食皆不同，也就是有50種零食。然而，肉肉喵因為肉太多了(?)所以每2公尺就得停下來休息(也只能每兩公尺才停下來)，請問貪食的肉肉喵有可能嚐遍50種零食嗎? 一周後，肉喵喵瘦了，體能也變好了，每3公尺才會停下來休息，請問這次肉喵喵有可能嚐遍50種零食嗎? 兩周後，肉肉肉強迫自己每6公尺才能停下來休息... 我不胖我只是壯 圖/Juddo @Wikimedia Commons 從第一個小問題我們可以看到，由於肉肉喵每2公尺就會停下， 最後他會停在起點的地方，然後接著下一圈的慢跑 。所以其實肉肉喵 只會在2的倍數公尺上停留 ，其餘的零食通通無緣。 第二個小問題，當每3公尺停留時，肉肉喵理所當然會經過3、6、9、...、45、48，然後哩!!!然後哩!!!然後他就 超過起點了，到了1公尺(也就是接著的51公尺)的地方 ，於是他開始了第二圈的慢跑。這第二圈慢跑開始的地方比原先的起點多了一公尺，也就是說肉肉喵 第二圈會經過的地方都比第一圈時多一公尺 (通通往後挪一公尺)，於是第二圈會經過4、7、10、...、46、49，然後是第三圈...。 小結論:  然後肉肉喵就變成肉肉肉了...   當每3公尺停留時，肉肉喵可以嚐過50種不同...

Sigillum Dei 圖/ Wikimedia Commons 這樣的想法已擱置得積滿了塵，今天終於找了個擺放科普文章的角落，為各位獻上第一篇<封印吧，以神的名義! 創造多芒星封印術(一)>。 這個主題的產生源自於一次性質近乎是補救教學的教學實習，而那週的課程進度正是國中幾何(三角形、圓、角)。肉肉喵(筆者)思考了許久，有什麼旁門左道(亂用成語的邪門歪道)可以切入而不至於乏味，於是想起我家肉肉豬愛看動畫，而裡頭與幾何相關且最帥的莫過於主角開始封印時背景亮起的五芒星LED燈惹!!!((挨打 敲了訊息給肉肉豬問，哪幾部(年輕人看得)動畫裡頭有出現星形的，求救!無奈他在看海綿寶寶不理我...，而我只想到「重生吧，前鬼」女角召喚時會對著空氣畫五角星，原來已是20年前的動畫了，以及以色列的大衛星。 不是我，是另個黃色的海綿。 圖/ Wikimedia Commons 以色列國旗，上頭的六芒星即是大衛星。圖/ Wikimedia Commons 所以我說多芒星呢? 1. 畫出自己的五芒星 這個步驟可以找朋友一起，你可能會發現一些 不同的畫法 。 不會畫?  這兒有圖，描描也好... 一個經典的五角星 圖/ Wikimedia Commons 2. 嘗試畫出七芒星 黑人問號.jpg 我知道，你說 六芒星去哪兒了 吧?不急，咱畫個七芒星先。 這兒會發現，有點難以直接繪出一顆七芒星，雖然七芒星不就是七個角的星形嗎，但是依照五芒星的畫法，似乎比較難去 安排七芒星賦予角的順序 。(繪製五芒星時， 藉由轉折依序給出五芒星的各個角 ) 太小看你了，你還是畫出來了對吧，而他長這樣... {7/2} 圖/ Wikimedia Commons 還是這樣呢? {7/3} 圖/ Wikimedia Commons 於是乎，兩個長相迥異，但怎麼數都是七個角，而的確也都稱之為七芒星的圖案，在繪製過程中誕生。 怎麼辦，封印時畫錯可是會被怪物吃掉der。 OMG 要被吃掉惹 ㄉ 吶喊 圖/ Wikimedia Commons 當兩圖同為七芒星，但結果卻不只一個時，我們便需要為之 命名 ! 分別以{7/2}，{7/3}表示...