<封印吧，以神的名義! 創造多芒星封印術(二)>

蛤 還來啊?
圖/Horsch, Willy @Wikimedia Commons

•  編按:在本主題的第一篇<封印吧，以神的名義! 創造多芒星封印術(一)>中，以封印術式不可或缺之五芒星切入多芒星的繪製，從「觀察」乃至建構一套「方法」。接著第二篇將解析過程中所使用的策略，並為其提供理論基礎。

在第一篇<封印吧，以神的名義! 創造多芒星封印術(一)>文末，我們試圖以規律的方式去繪出所有任意的芒星，然後肉肉喵告訴你其實一切只是你的業障重，一廂情願的想法((挨打。若接著畫八芒星，會發現，在公差為2時，圓上的連線會如鬼打牆般地在同樣的點不斷循環出不來。

公差為2時

肉肉喵:乖~快出來~  喵:不要。
圖/Mark @Wikimedia Commons

小問題時間

1. 肉肉喵在學校一全長50公尺的圓形操場由起點慢跑，恰逢零食廠商舉辦行銷活動，廠商從起點開始沿著跑道每公尺皆擺設一零食區，且每區的零食皆不同，也就是有50種零食。然而，肉肉喵因為肉太多了(?)所以每2公尺就得停下來休息(也只能每兩公尺才停下來)，請問貪食的肉肉喵有可能嚐遍50種零食嗎?
   
   
2. 一周後，肉喵喵瘦了，體能也變好了，每3公尺才會停下來休息，請問這次肉喵喵有可能嚐遍50種零食嗎?
   
   
3. 兩周後，肉肉肉強迫自己每6公尺才能停下來休息...
   
   

我不胖我只是壯
圖/Juddo @Wikimedia Commons

從第一個小問題我們可以看到，由於肉肉喵每2公尺就會停下，最後他會停在起點的地方，然後接著下一圈的慢跑。所以其實肉肉喵只會在2的倍數公尺上停留，其餘的零食通通無緣。

第二個小問題，當每3公尺停留時，肉肉喵理所當然會經過3、6、9、...、45、48，然後哩!!!然後哩!!!然後他就超過起點了，到了1公尺(也就是接著的51公尺)的地方，於是他開始了第二圈的慢跑。這第二圈慢跑開始的地方比原先的起點多了一公尺，也就是說肉肉喵第二圈會經過的地方都比第一圈時多一公尺(通通往後挪一公尺)，於是第二圈會經過4、7、10、...、46、49，然後是第三圈...。

小結論: 然後肉肉喵就變成肉肉肉了...  當每3公尺停留時，肉肉喵可以嚐過50種不同的零食。

到這兒我們可以說，只要停下的間隔(例如2公尺)是操場長(例如50公尺)的因數時，就一定會有吃不著的零食區，因為肉肉喵只會在特定的公尺數循環停留。 

我們接著看下個小問題，問題三(間隔6公尺)與問題二(間隔3公尺)停下的公尺數皆不是50(公尺)的因數，這次肉肉喵也能吃遍各種零食嗎?這邊我們不列舉，而是思考一個問題，一次走2公尺時，會有些地方走不到，那當我一次走三個2公尺呢?原本走不到的地方還是不會走到對吧。(原本走不到的奇數公尺數，不論一次走幾個2公尺都不會走到)

於是我們終於可以下結論，當停下的間隔(公尺數)與操場數有(存在1以外的)公因數時，必定有些公尺數是走不到的。換句話說，只有當兩者互質時，肉肉喵才能夠在每個公尺數都停留過。

伸個懶腰繼續看下去
圖/Wikimedia Commons

回歸六芒星

理解完上面的問題後，大概就知道何以獨獨六芒星被跳過了吧，因為我們無法依序(不間斷)地畫出六芒星的六個角，以致於六芒星的畫法總是分別畫兩個三角形然後疊起來，你有看過哪個主角在開啟魔法陣時說，等等，我再畫一個三角形就好，的嗎?原理就和肉肉喵跑操場相同，因為2、3、4沒有一個和6互質。
(註:公差5與公差1相同，皆會直接連成凸多邊形。)

結論

如果有天需要對朋友開啟魔法陣耍中二時，記得，別畫錯了!
行有餘力，思考(一筆畫)n芒星有幾種樣貌，比如(一筆畫)七芒星有兩種長相，會是不錯的下一步!

補充

• Bézout's lemma, if (a,b)=d ,then ax+by=m , m=nd