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沒地方擺鍵盤R...

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<如果奇異博士在鏡次元算矩陣之旋轉與鏡射在幹嘛(一)>旋轉好累篇

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圖/ Zift @ Flickr 2016年，漫威影業推出電影奇異博士，片中的魔法特效吸引不少人的目光，尤其當古一大師向奇異博士展示鏡次元(Mirror Dimension)時，空間又是扭曲，又是翻轉，整座城市在古一大師的意念下任意變換、轉動，簡直 炫! 到! 爆! 而醬鏡次元的概念不只酷炫，實用度更是高到破表RRR! 想當魔法師卻不會魔法嗎? 沒關係，數學上早有能滿足您想像需求的工具，那就是...矩陣!(哎哎看官們別走啊...肉肉喵都拖到第二段才提了༼☯﹏☯༽) 繼續看下去之前，我已經知道: ロ 向量的內積與正射影(見高中數學第三冊) ロ 矩陣的定義與基本運算(見高中數學第四冊) ロ  旋轉矩陣與鏡射矩陣的推導 ロ 都check了嗎? 那我們開始囉! 圖/Francesca Cesa Bianchi , Milano @ Wikimedia Commons 高中時，我們以解線性方程組為由，引入了 矩陣 一工具，而後介紹到了矩陣的乘法，以及藉由反方陣來解聯立方程式。今天，我們將以 向量的角度 再一次地瞧瞧矩陣這一 噁心的 乘法運算的魅力。準備好你的矩陣，咱們要上場囉! 向量內積 定義 *有向長度 Directed Distance 此處我們引入一個新的長度觀念，也就是 有方向的長度 ，和向量的方向不同，這兒我們所指的方向只有正與負，分別代表同方向與反方向。 正射影 *分量 本篇所提及的分量皆為有向長度，而非向量。 例如: 1.當a向量與b向量夾角介於-90°~90°時，則 a向量 在 b向量 上的分量為，+( a向量 在 b向量 上的正射影長度) 2.當a向量與b向量夾角介於90°~270°時，則 a向量 在 b向量 上的分量為，-( a向量 在 b向量 上的正射影長度) 註1: -90° = 270° 註2: 夾角為 90° 與 270°時，兩向量垂直，分量為0，故正負不影響。 內積與正射影 重新檢視向量內積的定義，便可將其理解為，( a向量 在 b向量 上的分量)乘上( b向量 的長度)。 註1:兩向量內積後為純量，然而，正射影為向量，仍包含方向，故相較於長度，正射影的結果需乘上( b向量 )的單位向...
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<封印吧，以神的名義! 創造多芒星封印術(二)>

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蛤 還來啊? 圖/Horsch, Willy @Wikimedia Commons   編按:在本主題的第一篇 <封印吧，以神的名義! 創造多芒星封印術(一)> 中，以封印術式不可或缺之五芒星切入多芒星的繪製，從「觀察」乃至建構一套「方法」。接著第二篇將解析過程中所使用的策略，並為其提供理論基礎。 在第一篇 <封印吧，以神的名義! 創造多芒星封印術(一)> 文末，我們試圖以規律的方式去繪出 所有任意 的芒星，然後肉肉喵告訴你其實一切只是你的業障重，一廂情願的想法((挨打。若接著畫八芒星，會發現，在公差為2時，圓上的連線會如鬼打牆般地在同樣的點 不斷循環 出不來。 公差為2時 肉肉喵:乖~快出來~  喵:不要。 圖/Mark @Wikimedia Commons 小問題時間 肉肉喵在學校一全長50公尺的圓形操場由起點慢跑，恰逢零食廠商舉辦行銷活動，廠商從起點開始沿著跑道每公尺皆擺設一零食區，且每區的零食皆不同，也就是有50種零食。然而，肉肉喵因為肉太多了(?)所以每2公尺就得停下來休息(也只能每兩公尺才停下來)，請問貪食的肉肉喵有可能嚐遍50種零食嗎? 一周後，肉喵喵瘦了，體能也變好了，每3公尺才會停下來休息，請問這次肉喵喵有可能嚐遍50種零食嗎? 兩周後，肉肉肉強迫自己每6公尺才能停下來休息... 我不胖我只是壯 圖/Juddo @Wikimedia Commons 從第一個小問題我們可以看到，由於肉肉喵每2公尺就會停下， 最後他會停在起點的地方，然後接著下一圈的慢跑 。所以其實肉肉喵 只會在2的倍數公尺上停留 ，其餘的零食通通無緣。 第二個小問題，當每3公尺停留時，肉肉喵理所當然會經過3、6、9、...、45、48，然後哩!!!然後哩!!!然後他就 超過起點了，到了1公尺(也就是接著的51公尺)的地方 ，於是他開始了第二圈的慢跑。這第二圈慢跑開始的地方比原先的起點多了一公尺，也就是說肉肉喵 第二圈會經過的地方都比第一圈時多一公尺 (通通往後挪一公尺)，於是第二圈會經過4、7、10、...、46、49，然後是第三圈...。 小結論:  然後肉肉喵就變成肉肉肉了...   當每3公尺停留時，肉肉喵可以嚐過50種不同...
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<我有你沒有，你有我沒有，之到底誰有誰沒有?接著討論的(二)>

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快起床~第二篇要來惹!!! 圖/yeowatzup @ Wikimedia Commons 前情提要 <我有你沒有，你有我沒有，之到底誰有誰沒有?來不及打完的(一)> 在開始之前... 來談談乘法公式 還記得國小的 分配律 嗎? ( a + b )  ×  c = ( a  ×  c ) + ( b  ×  c ) = ac + bc 上了國中後，分配律一轉眼就成了 乘法公式 ， ( a + b )  ×  ( c + d ) = ( a  ×  ( c + d ) ) + ( b  ×  ( c + d ) ) = ( a  ×  c ) + ( a  ×  d ) + ( b  ×  c ) + ( b  ×  d ) = ac + ad + bc + bd 接著，換 和的平方 的公式登場， 然後，自己動手試試看 和的立方 呢? 補充: 展開的過程中，可以發現， 如果任意的乘開，很可能在過程中漏乘了幾項 ，然而，如果我們能以一個有系統的方式乘開，也就是找到一個乘開的方法(順序)，便可以確保展開的過程中沒有遺漏的項目!這兒的方法是 由左至右，由a至b 。所以括號由左至右都先挑a出來乘，乘出aaa。接著，再一次地由左至右都挑a，當挑到第三個括號時，如果一樣挑a，那麼便與前一個相乘方法相同，故這一次挑b，乘出aab，以此類推。 啊，岔題遠了。 來幾個特別的案件吧! 讓我們將 和的立方 中的 a 換成 1 而 b 換成 x 會變成什麼呢。 每個括號內都挑一個出來乘，不是1就是x ，可以看到最後展開的結果，有挑出3個x的(x^3，也就是x的三次方)，有挑出2個x的(x^2，也就是x的平方)，和挑出1個x的，以及都不挑x的(常數項)。 再看一個案件... (1+a)(1+b)(1+c) 將 和的立方 中的x換成a、b、c ，再根據 和的立方 的乘開方式，可以預料到， 展開後的結果會有a、b、c中只挑1個的，有a、b、c中挑2個的，以及a、...
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